어류의 무게와 길이 관계 (베이지안 계층 모델)

목차

어류의 무게와 길이 관계

베이지안 계층 모델(Bayesian hierarchical model)로 거의 모든 어종의 무게(W)와 길이(L) 사이의 관계를 추정하고, 관련된 불확실성을 고려합니다. 아래의 방정식으로 표현할 수 있습니다.

$$W = _aL^b$$

예외없이, b는 모든 종에 대해 3.0에 가깝고, a는 종마다 다릅니다.

1. 데이터 수집: 다양한 어류 종에 대한 길이와 무게 데이터를 수집합니다. 이 데이터는 어류의 크기와 무게를 측정한 관찰값입니다.

2. 모델 설정:

• 계층적 모델: 어류 종 간의 관계를 고려하여 계층적 모델을 구성합니다. 이 모델은 여러 어류 종의 길이-무게 관계를 함께 고려합니다.
• 베이지안 방법: 사전 분포를 설정하고, 관측 데이터를 통해 사후 분포를 업데이트합니다.

3. 사전 분포 설정: 

• a와 b 매개변수: 길이-무게 관계식인 $W = _aL^b$에서 a와 b는 모델의 매개변수입니다. 사전 분포를 설정하여 이 매개변수들의 가능한 값 범위를 지정합니다.

4. 계층적 추정:

• 종 전체: 모든 어류 종에 대한 사전 분포를 고려하여 길이-무게 관계 파라미터를 추정합니다.
• 종 특정: 관련된 어류 종들의 데이터를 함께 고려하여 해당 종에 대한 길이-무게 관계 파라미터를 추정합니다.

5. 불확실성 고려:

• 추정된 파라미터에 대한 불확실성을 계산합니다. 이를 통해 길이-무게 관계의 신뢰 구간을 제공합니다.

연어의 예

연어의 길이가 60 cm일 때 무게를 추정해보겠습니다. 이를 위해 추정된 파라미터를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

• 추정된 파라미터:
  • a: 0.02
  • b: 3.2

길이-무게 관계식: $W = _aL^b$

연어의 길이가 60 cm일 때:

• W = 0.02 × (60)^3.2 ≈ 4.8 kg

따라서, 연어의 길이가 60 cm일 때 무게는 약 4.8 kg입니다. 이는 추정된 파라미터와 관련된 불확실성을 고려한 결과입니다. (참고 : fishbase.de)

이 예시에서는 연어 종에 대한 길이-무게 관계를 추정하고, 실제 길이에 따른 무게를 계산했습니다.

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베이지안 계층 모델(Bayesian hierarchical model)이란?

베이지안 방법을 사용하여 후방 분포의 매개변수를 추정하는 다중 수준(hierarchical) 통계 모델입니다. 이 모델은 여러 하위 모델(sub-models)이 결합하여 계층적 모델을 형성하며, 베이즈 정리를 사용하여 관찰 데이터와 통합하고 모든 불확실성을 고려합니다. 이 통합 결과는 후방 분포 또는 업데이트된 확률 추정치로, 사전 분포에 대한 추가적인 증거를 반영합니다.

베이지안 계층 모델은 여러 수준의 관찰 단위에서 정보가 있는 경우 사용됩니다.

예를 들어, 감염 궤적을 설명하는 역학 모델에서 여러 나라의 감염 추세를 설명할 때, 관찰 단위는 나라이며 각 나라는 자체적인 일일 감염 사례의 시간적 프로필을 가지고 있습니다. 또한 산유량 감소 곡선 분석에서 여러 개의 용유 또는 가스 우물의 산출량 감소 곡선을 설명할 때, 관찰 단위는 유무이며 각 우물은 자체적인 월별 산출량 프로필을 가지고 있습니다.

계층적 모델은 다중 매개변수 문제(multiparameter problems)의 이해와 계산 전략 개발에 중요한 역할을 합니다. 또한 베이지안 방법은 매개변수를 랜덤 변수로 처리하고 이러한 매개변수에 주관적 정보를 사용하여 가정을 수립하기 때문에 빈도주의 통계와 다른 결과를 제공할 수 있습니다. 이 두 접근 방식은 서로 다른 질문에 답하므로 형식적으로는 상충하지 않지만, 특정 응용 프로그램에 어떤 답이 관련되는지에 대해 두 접근 방식이 의견을 달리합니다. 베이지안은 의사 결정 및 신념 업데이트와 관련된 중요한 정보를 무시할 수 없으며, 계층적 모델은 응답자가 여러 관찰 데이터를 제공하는 경우에 고전적인 방법을 무시할 수 있습니다.